Question

15．已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+（3-6a）x+12a-3 （a∈R）
（1）證明：曲線y=f（x）在x=0處的切線過點（2，3）；
（2）若f（x）在x=x₀ 處取得極小值，x₀∈（1，3）求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）在x=0處的導數(shù)和f（0）的值，結(jié)合直線方程的點斜式方程，可求切線方程；
（2）f（x）在x=x₀處取得最小值必是函數(shù)的極小值，可以先通過討論導數(shù)的零點存在性，得出函數(shù)有極小值的a的大致取值范圍，然后通過極小值對應的x₀∈（1，3），解關(guān)于a的不等式，從而得出取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+6ax+3-6a，
由f（0）=12a-3，f′（0）=3-6a，
可得曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為y=（3-6a）x+12a-3，
當x=2時，y=2（3-6a）+12a-3=3，可得點（2，3）在切線上，
∴曲線y=f（x）在x=0的切線過點（2，3）；
（2）由f′（x）=0得，
x²+2ax+1-2a=0…（1）
方程（1）的根的判別式
△=4a²-4（1-2a）=4（a+1+$\sqrt{2}$） （a+1-$\sqrt{2}$）
①當-$\sqrt{2}$-1≤a≤$\sqrt{2}$-1時，函數(shù)f（x）沒有極小值，
②當a＜-$\sqrt{2}$-1或a＞$\sqrt{2}$-1時，
由f′（x）=0得x₁=-a-$\sqrt{{a}^{2}+2a-1}$，x₂=-a+$\sqrt{{a}^{2}+2a-1}$，
故x₀=x₂，由題設可知1＜-a+$\sqrt{{a}^{2}+2a-1}$＜3
（i）當a＞$\sqrt{2}$-1時，不等式1＜-a+$\sqrt{{a}^{2}+2a-1}$＜3沒有實數(shù)解；
（ii）當a＜-$\sqrt{2}$-1時，不等式1＜-a+$\sqrt{{a}^{2}+2a-1}$＜3
化為a+1＜$\sqrt{{a}^{2}+2a-1}$＜a+3，
解得-$\frac{5}{2}$＜a＜-$\sqrt{2}$-1，
綜合①②，得a的取值范圍是（-$\frac{5}{2}$，-$\sqrt{2}$-1）．

點評 將字母a看成常數(shù)，討論關(guān)于x的三次多項式函數(shù)的極值點，是解決本題的難點，本題中處理關(guān)于a的無理不等式，計算也比較繁，因此本題對能力的要求比較高．