Question

8．四面體PABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA=8，BC=4，PB=PC=AB=AC，且平面PBC⊥平面ABC，則球O的表面積為（　�。�

• A． 64π
• B． 65π
• C． 66π
• D． 128π

Answer 1

分析 求出△ABC外接圓的半徑，利用勾股定理求出球的半徑，即可求出球O的表面積．

解答 解：由于PB=PC，取BC的中點(diǎn)為O'，則PO'⊥BC，
由于平面ABC⊥平面PBC，
即有PO'⊥平面ABC，
∵PA=8，BC=4，PB=PC=AB=AC，
∴PB=6，PO'=4$\sqrt{2}$，
△ABC中，AB=AC=6，BC=4，
∴sin∠ABC=$\frac{4\sqrt{2}}{6}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴2r=$\frac{6}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$，
設(shè)球的半徑為R，球心到平面ABC的距離為h，
則（$\frac{9}{2\sqrt{2}}$）²+h²=（4$\sqrt{2}$-h）²+（4$\sqrt{2}$-$\frac{9}{2\sqrt{2}}$）²=R²，
解得R=$\frac{\sqrt{65}}{2}$．
球O的表面積為4πR²=65π，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的性質(zhì)定理和球的截面的性質(zhì)的運(yùn)用，熟記這些定理是解題的關(guān)鍵．