Question

12．食品安全是關乎到人民群眾生命的大事．某市質檢部門為了解該市甲、乙兩個食品廠生產食品的質量，從兩廠生產的食品中分別隨機抽取各10件樣品，測量產品中某種元素的含量（單位：毫克）．如圖是測量數據的莖葉圖：

規(guī)定：當食品中的此種元素含量不小于18毫克時，該食品為優(yōu)等品．
（Ⅰ）試用上述樣本數據估計甲、乙兩廠生產的優(yōu)等品率；
（Ⅱ）從乙廠抽出的上述10件樣品中，隨機抽取3件，求抽到的3件樣品中優(yōu)等品數ξ的分布列及其數學期望E（ξ）；
（Ⅲ）從甲廠的10件樣品中有放回的隨機抽取3件，也從乙廠的10件樣品中有放回的隨機抽取3件，求抽到的優(yōu)等品數甲廠恰比乙廠多2件的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）甲廠抽取的樣本中優(yōu)等品有6件，乙廠抽取的優(yōu)等品率有5件，由此能估計甲、乙兩廠生產的優(yōu)等品率．
（Ⅱ）由題意得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（Ⅲ）抽取的優(yōu)等品數甲廠恰比乙廠多2件包括2個事件，即A=“抽取的優(yōu)等品數甲廠2件，乙廠0件“，B=“抽取的優(yōu)等品數甲廠3件，乙廠1件“，由此能求出抽取的優(yōu)等品數甲廠恰比乙廠多2件的概率．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）甲廠抽取的樣本中優(yōu)等品有6件，優(yōu)等品率為$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
乙廠抽取的優(yōu)等品率有5件，優(yōu)等品率為$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）由ξ的值0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{5}^{0}{C}_{5}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{12}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{12}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{12}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{12}$，
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

Eξ=$0×\frac{1}{12}+1×\frac{5}{12}+2×\frac{5}{12}$+3×$\frac{1}{12}$=$\frac{3}{2}$．
（Ⅲ）抽取的優(yōu)等品數甲廠恰比乙廠多2件包括2個事件，
即A=“抽取的優(yōu)等品數甲廠2件，乙廠0件“，
B=“抽取的優(yōu)等品數甲廠3件，乙廠1件“，
P（A）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（\frac{2}{5}）$×${C}_{3}^{0}（\frac{1}{2}）^{0}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{27}{500}$，
P（B）=${C}_{3}^{3}（\frac{3}{5}）^{3}×{C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{81}{1000}$，
∴抽取的優(yōu)等品數甲廠恰比乙廠多2件的概率P=P（A）+P（B）=$\frac{27}{500}+\frac{81}{1000}$=$\frac{27}{200}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．