Question

1．解下列各題：
（1）求下列橢圓5x²+9y²=100的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線 y²-6x=0的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程和對稱軸；
（3）求焦點(diǎn)在x軸上，兩頂點(diǎn)間的距離是8，e=$\frac{5}{4}$的 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）化橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）化拋物線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得p，即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程和對稱軸；
（3）由題意設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步求得a，b得答案．

解答 解：（1）由橢圓5x²+9y²=100，得$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{\frac{100}{9}}=1$，
∴${a}^{2}=20，^{2}=\frac{100}{9}$，${c}^{2}={a}^{2}-^{2}=20-\frac{100}{9}=\frac{80}{9}$．
∴橢圓5x²+9y²=100的焦點(diǎn)為（±$\frac{4\sqrt{5}}{3}，0$），頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（±2$\sqrt{5}$，0），（0，±$\frac{10}{3}$）；
（2）由拋物線 y²-6x=0，得y²=6x，則p=3，$\frac{p}{2}=\frac{3}{2}$，
拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（$\frac{3}{2}，0$），準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{3}{2}$，對稱軸方程為y=0；
（3）由題意可設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$，且2a=8，$\frac{c}{a}=\frac{5}{4}$，
∴a=4，c=5，b²=c²-a²=9，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

點(diǎn)評 本題考查圓錐曲線的簡單性質(zhì)，考查對圓錐曲線基礎(chǔ)知識的記憶與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．