Question

16．在五面體ABCDEF中，AB∥CD∥EF，CD=EF=CF=2AB=2AD=2，∠DCF=60°，AD⊥CD，平面CDEF⊥平面ABCD．
（1）證明：直線CE⊥平面ADF；
（2）已知P為棱BC上的點(diǎn)，試確定P點(diǎn)位置，使二面角P-DF-A的大小為60°．

Answer 1

分析 （1）證明一條直線垂直一個(gè)平面，只需要證明這條兩個(gè)平面垂直，直線垂直兩個(gè)平面的交線即可．證明CE⊥DF
∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，CE⊥AD，即可得到直線CE⊥平面ADF．
（2）根據(jù)題意，取EF的中點(diǎn)G，證明DA，DC，DG兩兩垂直．以D為原點(diǎn)，DA，DC，DG的方向?yàn)閤，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)行計(jì)算，確定P在棱BC上的位置．

解答 證明：（1）∵CD∥EF，CD=EF=CF=2，∴四邊形CDEF為菱形，
∴CE⊥DF
∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，
∵AD⊥CD，∴AD⊥平面ACDEF，
∴CE⊥AD，又∵AD∩DF=D，∴直線CE⊥平面ADF；
解：（2）∵∠DCF=60°，∴△DEF為正三角形，取EF的中點(diǎn)G，連接GD，則GD⊥EF，∴GD⊥CD．
∵平面CDEF⊥平面ABCD，GD?平面CDEF，平面CDEF∩平面ABCD=CD，
∴GD⊥平面ABCD．∵AD⊥CD，∴DA，DC，DG兩兩垂直．
以D為原點(diǎn)，DA，DC，DG的方向?yàn)閤，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
∵CD=EF=CF=2，AB=AD=1，∴$E（0，-1，\sqrt{3}），F(xiàn)（0，1，\sqrt{3}）$，
由（1）知$\overrightarrow{CE}=（0，-3，\sqrt{3}）$是平面ADF的法向量．∵$\overrightarrow{DF}=（0，1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{CB}=（1，-1，0）$，
設(shè)$\overrightarrow{CP}=a\overrightarrow{CB}=（a，-a，0）$，$\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CP}=（a，2-a，0）$，
設(shè)平面PDF的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，∵$\overrightarrow n•\overrightarrow{DF}=0$，$\overrightarrow n•\overrightarrow{DP}=0$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{y+\sqrt{3}z=0}\\{ax+（2-a）y=0}\end{array}}\right.$，令$y=\sqrt{3}a$，則$x=\sqrt{3}（a-2），z=-a$，
∴$\overrightarrow n=（\sqrt{3}（a-2），\sqrt{3}a，-a）$．
∵二面角P-DF-A為60°，
∴$|{cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{CE}＞}|=\frac{{|{\overrightarrow n•\overrightarrow{CE}}|}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{CE}}|}}=\frac{{4a\sqrt{3}}}{{\sqrt{12}\sqrt{3{{（a-2）}^2}}+3{a^2}+{a^2}}}=\frac{1}{2}$，解得$a=\frac{2}{3}$．
∴P點(diǎn)在靠近B點(diǎn)的CB的三等分點(diǎn)處．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的證明方法．線面垂直可以轉(zhuǎn)化成證明面面垂直，也可以證明直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線．同時(shí)考查了空間直角坐標(biāo)系在立體幾何中的運(yùn)用能力和計(jì)算能力！屬于難題．