Question

設函數(shù)f（x）=

1

3

x³+x²+x，g（x）=2x²+4x+c．當x∈[-3，4]時，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個公共點，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用

分析：把a=-1代入f（x）確定出f（x），然后令f（x）與g（x）相等，移項并合并得到c等于一個函數(shù)，設F（x）等于這個函數(shù)，G（x）等于c，求出F（x）的導函數(shù)，令導函數(shù)等于0求出x的值，利用x的值討論導函數(shù)的正負得到F（x）的單調(diào)區(qū)間，進而得到F（x）的極大值和極小值，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個公共點，則函數(shù)F（x）與G（x）有兩個公共點，根據(jù)F（x）的極大值和極小值寫出c的取值范圍即可．

解答： 解：令f（x）=g（x），則有

1

3

x³-x²-3x-c=0，∴c=

1

3

x³-x²-3x，
設F（x）=

1

3

x³-x²-3x，G（x）=c，令F′（x）=x²-2x-3=0，解得x₁=-1或x=3．
列表如下：

x	-3	（-3，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，4）	4
F′（x）		+	0	-	0	+
F（x）	-9		5 3		-9		- 20 3

由此可知：F（x）在（-3，-1）、（3，4）上是增函數(shù)，在（-1，3）上是減函數(shù)．
當x=-1時，F(xiàn)（x）取得極大值F（-1）=

5

3

；當x=3時，F(xiàn)（x）取得極小值
F（-3）=F（3）=-9，而F（4）=-

20

3

．
如果函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個公共點，則函數(shù)F（x）與G（x）有兩個公共點，
所以-

20

3

＜c＜

5

3

或c=-9．

點評：此題考查學生會利用導函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，掌握函數(shù)的零點與方程根的關系，是一道中檔題．