Question

12．設(shè)ω∈N^*且ω≤15，則使函數(shù)y=sinωx在區(qū)間[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上不單調(diào)的ω的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 使函數(shù)y=sinωx在區(qū)間[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上不單調(diào)，只需對(duì)稱軸在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]即可．

解答 解：根據(jù)正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)：
對(duì)稱軸方程為ωx=$\frac{π}{2}$+kπ，（k∈Z）．
解得：x=$\frac{π}{2ω}$+$\frac{kπ}{ω}$，（k∈Z）．
∵函數(shù)y=sinωx在區(qū)間[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上不單調(diào)，
∴$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2ω}$+$\frac{kπ}{ω}$＜$\frac{π}{3}$，（k∈Z），
解得：1.5+3k＜ω＜2+4k，（k∈Z）．
由題意：ω∈N^*且ω≤15，
當(dāng)k=0時(shí)，1.5＜ω＜2，此時(shí)ω沒(méi)有正整數(shù)可��；
當(dāng)k=1時(shí)，4.5＜ω＜6，此時(shí)ω可以�。�5；
當(dāng)k=2時(shí)，7.5＜ω＜10，此時(shí)ω可以�。�8，9；
當(dāng)k=3時(shí)，10.5＜ω＜14，此時(shí)ω可以�。�11，12，13；
當(dāng)k=4時(shí)，13.5＜ω＜18，此時(shí)ω可以�。�14，15；
∴ω∈N^*且ω≤15，y=sinωx在區(qū)間[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上不單調(diào)時(shí)，ω可以4個(gè)數(shù)，
即5，8，9，11，12，13；14，15．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)的靈活運(yùn)用，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．