Question

20．為了提高我市的教育教學水平，市教育局打算從紅塔區(qū)某學校推薦的10名教師中任選3人去參加支教活動．這10名教師中，語文教師3人，數(shù)學教師4人，英語教師3人．求：
（1）選出的語文教師人數(shù)多于數(shù)學教師人數(shù)的概率；
（2）選出的3人中，語文教師人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）設事件A表示“選出的語文教師人數(shù)多于數(shù)學教師人數(shù)”，A₁表示“恰好選出1名語文教師和2名英語教師”，A₂表示“恰好選出2名語文教師”，A₃表示“恰好選出3名語文教師”，則A₁，A₂，A₃彼此互斥，且A=A₁∪A₂∪A₃，由此能求出選出的語文教師人數(shù)多于數(shù)學教師人數(shù)的概率．
（2）由于從10名教師中任選3人的結果為${C}_{10}^{3}$，從10名教師中任取3人，其中恰有k名語文教師的結果為${C}_{3}^{k}{C}_{7}^{3-k}$，由此能求出選出的3人中，語文教師人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）市教育局從紅塔區(qū)某學校推薦的10名教師中任選3人去參加支教活動，
基本事件總數(shù)$n={C}_{10}^{3}$=120，
這10名教師中，語文教師3人，數(shù)學教師4人，英語教師3人，
設事件A表示“選出的語文教師人數(shù)多于數(shù)學教師人數(shù)”，
A₁表示“恰好選出1名語文教師和2名英語教師”，A₂表示“恰好選出2名語文教師”，
A₃表示“恰好選出3名語文教師”，則A₁，A₂，A₃彼此互斥，且A=A₁∪A₂∪A₃，
${P（A}_{1}）=\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{40}$，P（A₂）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{40}$，P（A₃）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，
∴選出的語文教師人數(shù)多于數(shù)學教師人數(shù)的概率P=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）=$\frac{3}{40}+\frac{7}{40}+\frac{1}{120}$=$\frac{31}{120}$．
（2）由于從10名教師中任選3人的結果為${C}_{10}^{3}$，
從10名教師中任取3人，其中恰有k名語文教師的結果為${C}_{3}^{k}{C}_{7}^{3-k}$，
那么從10人任選3人，其中恰有k名語文教師的概率為P（X=k）=$\frac{{C}_{3}^{k}{C}_{7}^{3-k}}{{C}_{10}^{3}}$，k=0，1，2，3，
∴隨機變量X的分布列是：

X	0	1	2	3
P	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$

E（X）=$0×\frac{7}{24}+1×\frac{21}{40}+2×\frac{7}{40}+3×\frac{1}{120}$=$\frac{9}{10}$．

點評 本題考查事件的概率公式、分布列和數(shù)學期望，是中檔題，解題時要注意弄清事件與事件之間的關系，否則容易出錯．