Question

10．已知$0＜x＜\frac{π}{2}，f（x）=\frac{1}{sinx}+\frac{sinx+9}{1-sinx}$的最小值為2$\sqrt{10}$+10．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{sinx}$+$\frac{sinx+9}{1-sinx}$=…=$\frac{1-sinx}{sinx}$+$\frac{10sinx}{1-sinx}$+10，利用基本不等式求出f（x）的最小值．

解答 解：當(dāng)0＜x＜$\frac{π}{2}$時(shí)，0＜sinx＜1；
所以f（x）=$\frac{1}{sinx}$+$\frac{sinx+9}{1-sinx}$
=$\frac{1}{sinx}$+$\frac{sinx-1+10}{1-sinx}$
=$\frac{1}{sinx}$+$\frac{10}{1-sinx}$-1
=（$\frac{1}{sinx}$+$\frac{10}{1-sinx}$）（1-sinx+sinx）-1
=$\frac{1-sinx+sinx}{sinx}$+$\frac{10（1-sinx+sinx）}{1-sinx}$-1
=$\frac{1-sinx}{sinx}$+$\frac{10sinx}{1-sinx}$+10
≥2$\sqrt{\frac{（1-sinx）•10sinx}{sinx（1-sinx）}}$+10
=2$\sqrt{10}$+10，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1-sinx}{sinx}$=$\frac{10sinx}{1-sinx}$，
即sinx=$\frac{\sqrt{11}}{11}$時(shí)取“=”；
所以函數(shù)f（x）的最小值為2$\sqrt{10}$+10．
故答案為：2$\sqrt{10}$+10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．