Question

4．已知圓C經(jīng)過（2，4）、（1，3），圓心C在直線x-y+1=0上，過點(diǎn)A（0，1），且斜率為k的直線l交圓相交于M、N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）（i）請(qǐng)問$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$是否為定值．若是，請(qǐng)求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由；
（ii）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=12$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，由已知列關(guān)于a，b，r的方程組求解方程組可得a，b，r的值，則圓C的方程可求；
（Ⅱ）（i）直接利用切割線定理求得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的值；
（ii）依題意可知，直線l的方程為y=kx+1，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），把y=kx+1代入（x-2）²+（y-3）²=1并整理，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出A，B的橫坐標(biāo)的和與積，代入$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=12$求得k值，從而求得直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
則依題意，得$\left\{\begin{array}{l}{（2-a）^2}+{（4-b）^2}={r^2}\\{（1-a）^2}+{（3-b）^2}={r^2}\\ a-b+1=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=3\\ r=1\end{array}\right.$．
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-3）²=1；
（Ⅱ）（i）$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$為定值．
過點(diǎn)A（0，1）作直線AT與圓C相切，切點(diǎn)為T，則AT²=7，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{AN}|cos0°=A{T^2}=7$，∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$為定值，且定值為7；
（ii）依題意可知，直線l的方程為y=kx+1，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
將y=kx+1代入（x-2）²+（y-3）²=1并整理得：（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{4（1+{k^2}）}}{{1+{k^2}}}$，${x_1}+{x_2}=\frac{7}{{1+{k^2}}}$，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）+1=\frac{4k（1+k）}{{1+{k^2}}}+8=12$，
即$\frac{4k（1+k）}{{1+{k^2}}}=4$，解得k=1，
又當(dāng)k=1時(shí)△＞0，∴k=1，
∴直線l的方程為y=x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用待定系數(shù)法求圓的方程，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．