Question

18．過動點P作圓：（x-3）²+（y-4）²=1的切線PQ，其中Q為切點，若|PQ|=|PO|（O為坐標原點），則|PQ|的最小值是$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 根據題意，設P的坐標為（m，n），圓（x-3）²+（y-4）²=1的圓心為N，由圓的切線的性質可得|PN|²=|PQ|²+|NQ|²=|PQ|²+1，結合題意可得|PN|²=|PO|²+1，代入點的坐標可得（m-3）²+（n-4）²=m²+n²+1，變形可得：6m+8n=24，可得P的軌跡，分析可得|PQ|的最小值即點O到直線6x+8y=24的距離，由點到直線的距離公式計算可得答案．

解答 解：根據題意，設P的坐標為（m，n），圓（x-3）²+（y-4）²=1的圓心為N，則N（3，4）
PQ為圓（x-3）²+（y-4）²=1的切線，則有|PN|²=|PQ|²+|NQ|²=|PQ|²+1，
又由|PQ|=|PO|，
則有|PN|²=|PO|²+1，
即（m-3）²+（n-4）²=m²+n²+1，
變形可得：6m+8n=24，
即P在直線6x+8y=24上，
則|PQ|的最小值即點O到直線6x+8y=24的距離，
且d=$\frac{|6×0+8×0-24|}{\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}}$=$\frac{12}{5}$；
即|PQ|的最小值是$\frac{12}{5}$；
故答案為：$\frac{12}{5}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，涉及圓的切線的性質、勾股定理、兩點之間的距離公式，關鍵是求出點P的軌跡．