已知向量數(shù)學(xué)公式(λ≠0),數(shù)學(xué)公式,其中O為坐標原點.
(Ⅰ)若數(shù)學(xué)公式,求向量數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式的夾角;
(Ⅱ)若數(shù)學(xué)公式對任意實數(shù)α、β都成立,求實數(shù)λ的取值范圍.

解:(Ⅰ)∵,

設(shè)向量的夾角為θ,得

又∵
=λsin(α-β)=λ
∴|λ|cosθ=λ?cosθ=±
∵θ∈[0,π]
∴θ=
(Ⅱ)
代入(1)的運算結(jié)果,=λsin(α-β),

不等式化為:λ2-2λsin(α-β)+1≥4,
即λ2-2λsin(α-β)-3≥0對任意實數(shù)α、β都成立
∵-1≤sin(α-β)≤1
?λ≤-3或λ≥3
∴實數(shù)λ的取值范圍是(-∞,-3]∪[3,+∞)
分析:(Ⅰ)首先利用向量模的坐標公式求出向量、的長度,從而得到,然后利用向量數(shù)理積的坐標公式,得到=λsin(β-α)=-λ,最后解關(guān)于夾角θ的方程,可得向量的夾角;
(Ⅱ)代入(1)的運算結(jié)果,將不等式整理為:λ2-2λsin(β-α)-1≥0對任意實數(shù)α、β都成立,再結(jié)合正弦函數(shù)的有界性,建立關(guān)于λ的不等式組,解之可得滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍.
點評:本題綜合了平面向量的數(shù)量積、和與差的三角函數(shù)以及不等式恒成立等知識點,屬于難題.解題時應(yīng)該注意等價轉(zhuǎn)化和函數(shù)方程思想的運用.
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