解:(Ⅰ)∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/63881.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/56106.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/63883.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/63884.png)
設(shè)向量
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/282.png)
與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/284.png)
的夾角為θ,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/63885.png)
又∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/63886.png)
=λsin(α-β)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/376.png)
λ
∴|λ|cosθ=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/376.png)
λ?cosθ=±
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/376.png)
∵θ∈[0,π]
∴θ=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/198.png)
或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/373.png)
(Ⅱ)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/63887.png)
代入(1)的運算結(jié)果
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/63888.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4796.png)
=λsin(α-β),
得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/63889.png)
不等式
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/56110.png)
化為:λ
2-2λsin(α-β)+1≥4,
即λ
2-2λsin(α-β)-3≥0對任意實數(shù)α、β都成立
∵-1≤sin(α-β)≤1
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/63890.png)
?λ≤-3或λ≥3
∴實數(shù)λ的取值范圍是(-∞,-3]∪[3,+∞)
分析:(Ⅰ)首先利用向量模的坐標公式求出向量
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/282.png)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/284.png)
的長度,從而得到
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/63891.png)
,然后利用向量數(shù)理積的坐標公式,得到
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4796.png)
=λsin(β-α)=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/376.png)
λ,最后解關(guān)于夾角θ的方程,可得向量
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/282.png)
與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/284.png)
的夾角;
(Ⅱ)代入(1)的運算結(jié)果,將不等式
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/56110.png)
整理為:λ
2-2λsin(β-α)-1≥0對任意實數(shù)α、β都成立,再結(jié)合正弦函數(shù)的有界性,建立關(guān)于λ的不等式組,解之可得滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍.
點評:本題綜合了平面向量的數(shù)量積、和與差的三角函數(shù)以及不等式恒成立等知識點,屬于難題.解題時應(yīng)該注意等價轉(zhuǎn)化和函數(shù)方程思想的運用.