【題目】函數(shù)f(x)對(duì)任意的m,n∈R都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且x>0時(shí),恒有f(x)<1.
(1)試判斷f(x)在R上的單調(diào)性,并加以證明;
(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2
(3)若關(guān)于的不等式在上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)f(x)在R上為減函數(shù).證明見解析
(2)
(3)
【解析】
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,結(jié)合已知條件轉(zhuǎn)化證明f(x)在R上為減函數(shù)。
利用已知條件通過f(3)=4,求出,然后再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式f(a2+a-5)<2。
根據(jù)題意關(guān)于的不等式在上有解,法一,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,可轉(zhuǎn)化為有解,即有解,利用換元法,令,將其轉(zhuǎn)化為一元二次不等式有解,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),進(jìn)行求解即可;法二,分離參數(shù),得到,利用換元法,令,得,結(jié)合對(duì)號(hào)函數(shù)的性質(zhì)即可解出實(shí)數(shù)的取值范圍。
解:(1) f(x)在R上為減函數(shù).
證明:設(shè)x1,x2∈R,且x1<x2,
∴x2-x1>0,∵當(dāng)x>0時(shí),f(x)<1
∴f(x2-x1)<1.
f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1,
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1<0f(x1)>f(x2),
∴f(x)在R上為減函數(shù).
(2)∵m,n∈R,不妨設(shè)m=n=1,
∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1f(2)=2f(1)-1,
f(3)=4f(2+1)=4f(2)+f(1)-1=43f(1)-2=4,
∴f(1)=2,∴f(a2+a-5)<2=f(1),
∵f(x)在R上為減函數(shù),
∴a2+a-5>1a<-3或a>2,即a∈
(3)法一:由題意得:,因?yàn)?/span>在R上為減函數(shù).
,即,
令,則,即在上有解,
設(shè),因?yàn)?/span> ,結(jié)合圖像可知:
,即,解得:
法二:由題意得:,因?yàn)?/span>在R上為減函數(shù).
,即,
令,則,在上有解,
由對(duì)勾函數(shù)可知
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(xR),g(x)=2a-1
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.
(2)若f(x)≥g(x)對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】語文中有回文句,如:“上海自來水來自海上”,倒過來讀完全一樣。數(shù)學(xué)中也有類似現(xiàn)象,如:88,454,7337,43534等,無論從左往右讀,還是從右往左讀,都是同一個(gè)數(shù),稱這樣的數(shù)為“回文數(shù)”!
二位的回文數(shù)有11,22,33,44,55,66,77,88,99,共9個(gè);
三位的回文數(shù)有101,111,121,131,…,969,979,989,999,共90個(gè);
四位的回文數(shù)有1001,1111,1221,…,9669,9779,9889,9999,共90個(gè);
由此推測(cè):11位的回文數(shù)總共有_________個(gè).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校900名學(xué)生在一次百米測(cè)試中,成績?nèi)拷橛?3秒與18 秒之間,利用分層抽樣的方法抽取其中若干個(gè)樣本,將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組:第一組[13,14),第二組[14,15),…,第五組[17,18],有關(guān)數(shù)據(jù)見下表:
各組組員數(shù) | 各組抽取人數(shù) | |
[13,14) | 54 | a |
[14,15) | b | 8 |
[15,16) | 342 | 19 |
[16,17) | 288 | c |
[17,18] | d |
(1)求a,b,c,d的值;
(2)若樣本第一組中只有一個(gè)女生,其他都是男生,第五組則只有一個(gè)男生,其他都是女生,現(xiàn)從第一、五組中各抽一個(gè)同學(xué)組成一個(gè)新的組,求這個(gè)新組恰好由一個(gè)男生和一個(gè)女生構(gòu)成的概率。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為研究冬季晝夜溫差大小對(duì)某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽率的影響,某校課外興趣小組記錄了組晝夜溫差與顆種子發(fā)芽數(shù),得到如下資料:
組號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
溫差() | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù)(顆) | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
經(jīng)分析,這組數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,因此該小組確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取組數(shù)據(jù)求出線性回歸方程,再用沒選取的組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(1)若選取的是第組的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(1)中所得的線性回歸方程是否可靠?
(參考公式:,)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,平面,點(diǎn)在以為直徑的上,,,點(diǎn)為線段的中點(diǎn),點(diǎn)在弧上,且.
(1)求證:平面平面;
(2)求證:平面平面;
(3)設(shè)二面角的大小為,求的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3).
【解析】試題分析:
(1)由△ABC中位線的性質(zhì)可得,則平面.由線面平行的判斷定理可得平面.結(jié)合面面平行的判斷定理可得平面.
(2)由圓的性質(zhì)可得,由線面垂直的性質(zhì)可得,據(jù)此可知平面.利用面面垂直的判斷定理可得平面平面.
(3)以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線為軸,所在的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.結(jié)合空間幾何關(guān)系計(jì)算可得平面的法向量,平面的一個(gè)法向量,則.由圖可知為銳角,故.
試題解析:
(1)證明:因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn),點(diǎn)為線段的中點(diǎn),
所以,因?yàn)?/span>平面,平面,所以平面.
因?yàn)?/span>,且平面,平面,所以平面.
因?yàn)?/span>平面,平面,,
所以平面平面.
(2)證明:因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的上,所以,即.
因?yàn)?/span>平面,平面,所以.
因?yàn)?/span>平面,平面,,所以平面.
因?yàn)?/span>平面,所以平面平面.
(3)解:如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線為軸,所在的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)?/span>,,所以,.
延長交于點(diǎn).因?yàn)?/span>,
所以,,.
所以,,,.
所以,.
設(shè)平面的法向量.
因?yàn)?/span>,所以,即.
令,則,.
所以.
同理可求平面的一個(gè)法向量.
所以.由圖可知為銳角,所以.
【題型】解答題
【結(jié)束】
21
【題目】已知圓,點(diǎn),直線.
(1)求與圓相切,且與直線垂直的直線方程;
(2)在直線上(為坐標(biāo)原點(diǎn)),存在定點(diǎn)(不同于點(diǎn)),滿足:對(duì)于圓上任一點(diǎn),都有為一常數(shù),試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: ()的離心率為 ,,,,的面積為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)斜率為2的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),求直線的方程;
(3)在軸上是否存在一點(diǎn),使得過點(diǎn)的任一直線與橢圓若有兩個(gè)交點(diǎn)、則都有為定值?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)及相應(yīng)的定值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形中,,且分別為線段的中點(diǎn),沿把折起,使,得到如下的立體圖形.
(1)證明:平面平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com