Question

5．函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}-3x+1，x≥0\\{x^2}-2x-4，x＜0\end{array}\right.$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x³-3x+1，利用函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²-2x-4，利用函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，綜合可得結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}-3x+1，x≥0\\{x^2}-2x-4，x＜0\end{array}\right.$，
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x³-3x+1，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，求得x=1，在[0，1）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
在（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
∵f（0）•f（1）=1•（-1）=-1＜0，故函數(shù)f（x）在（0，1）有唯一零點(diǎn)．
∵f（1）•f（2）=（-1）•3=-3＜0，
故函數(shù)f（x）在（1，2）有唯一零點(diǎn)，故函數(shù)f（x）在（1，+∞）有唯一零點(diǎn)．
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²-2x-4，它的圖象的對(duì)稱軸為直線x=1，
故函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
∵f（0）=-4，f（-2）=4，f（0）•f（-2）=-16＜0，
故函數(shù)f（x）在（-2，0）有唯一零點(diǎn)，故函數(shù)f（x）在（-∞，0）有唯一零點(diǎn)．
綜上可得，f（x）在R上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．