Question

20．已知函數(shù)$f（x）=\frac{|x|}{e^x}$，g（x）=-4^x+m•2^x+1+m²+2m-1，若M={x|f（g（x））＞e}=R，則實數(shù)m的取值范圍是[-2，0]．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進行轉(zhuǎn)化不等式恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)恒成立進行求解即可．

解答 解：對于函數(shù)$f（x）=\frac{|x|}{e^x}$，
當x≥0時，f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，∵f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，在[0，1）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
在（1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，且f（x）＞0．
當x＜0時，f（x）=-$\frac{x}{{e}^{x}}$，∵f′（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$＜0，故函數(shù)f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)．
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[0，1]，減區(qū)間為（-∞，0）、（1，+∞）．
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（1）=$\frac{1}{e}$＜e，由于f（-1）=e，
故當x＞-1時，f（x）＜e，
故f（x）的單調(diào)性示意圖，如圖所示：
∴不等式f（g（x））＞e，即為f（g（x））＞f（-1），即g（x）＜-1．
M={x|f（g（x））＞e}=R，等價于 g（x）＜-1恒成立，
即-4^x+m•2^x+1+m²+2m-1＜-1恒成立，即-4^x+m•2^x+1+m²+2m＜0恒成立．
設t=2^x，則t＞0，則不等式等價為-t²+2mt+m²+2m＜0恒成立，
即t²-2mt-m²-2m＞0，在（0，+∞）上恒成立，設h（t）=t²-2mt-m²-2m，
故有①$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-2m}{2}≤0}\\{h（0）={-m}^{2}-2m≥0}\end{array}\right.$，或②$\left\{\begin{array}{l}{△={4m}^{2}+4{（m}^{2}+2m）＜0}\\{-\frac{-2m}{2}＞0}\end{array}\right.$．
解①可得 $\left\{\begin{array}{l}{m≤0}\\{-2≤m≤0}\end{array}\right.$，即-2≤m≤0；
解②可得 $\left\{\begin{array}{l}{-1＜m＜0}\\{m＞0}\end{array}\right.$，即m無解．
綜上可得，-2≤m≤0，
故答案為：[-2，0]．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化，利用換元法，構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，屬于難題．