Question

20．在邊長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DD₁的中點(diǎn)．
（1）求證：CF∥平面A₁DE；
（2）求二面角A₁-DE-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如圖所示．取A₁D的中點(diǎn)G，連接GF，GE，利用三角形中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)可得：$GF\underset{∥}{=}CE$．
四邊形CEGF為平行四邊形．即CF∥GE．利用線面平行的判定定理即可證明結(jié)論．
（2）分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面A₁DE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$=（-2，1，2）．又$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，2）是平面ADE的法向量，設(shè)二面角A-A₁D-A的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{D{D}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{D{D}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$．

解答 （1）證明：如圖所示．取A₁D的中點(diǎn)G，連接GF，GE，則GF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$A₁D₁，A₁D₁$\underset{∥}{=}$2CE，∴$GF\underset{∥}{=}CE$．
∴四邊形CEGF為平行四邊形．∴CF∥GE．
又CF?平面A₁DE，GE?平面A₁DE，
∴CF∥平面A₁DE．
（2）解：分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則D（0，0，0），A（2，0，0），E（1，2，0），A₁（2，0，2），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{DE}$=（1，2，0），
設(shè)平面A₁DE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+2z=0}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（-2，1，2）．
又$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，2）是平面ADE的法向量，設(shè)二面角A-A₁D-A的平面角為θ，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{D{D}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{D{D}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3}$．
∴二面角A-A₁D-A的余弦值為$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間位置關(guān)系、線面平行的判定定理、法向量的應(yīng)用、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．