Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn).

 (1)(理)求證：AM∥平面BDE；

(文)求證：AM⊥平面BDF₁；

(2)求二面角A-DF-B的大小；

(3)(理)試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使得PF與BC所成的角是60°.

Answer 1

思路解析:本題要利用線面平行和線面垂直的判定和性質(zhì)以及線線角和面面角的定義.

(1)證明：(理)如圖，記AC與BD的交點(diǎn)為O，連結(jié)OE，

∵O、M分別是AC、EF的中點(diǎn)，四邊形ACEF是矩形，

∴四邊形AOEM是平行四邊形.∴AM∥OE.

∵OE平面BDE，AM平面BDE，

∴AM∥平面BDE.

(文)如圖，∵BD⊥AC，BD⊥AF，且AC交AF于A，

∴BD⊥平面AE.又∵AM平面AE，∴BD⊥AM.

∵AD=2，AF=1，OA=1，∴AOMF是正方形.

∴AM⊥OF.又AM⊥BD，且OF∩BD=O,∴AM⊥平面BDF.

 

(2)解:如圖，在平面AFD中過(guò)A作AS⊥DF于S，連結(jié)BS，

∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD∩AF=A，

∴AB⊥平面ADF.

∴AS是BS在平面ADF上的射影.

由三垂線定理得BS⊥DF.

∴∠BSA是二面角A-DF-B的平面角.

在Rt△ASB中，AS=，AB=，

∴tan∠ASB=3，∠ASB=60°.

∴二面角A-DF-B的大小為60°.

(3)解:(理)如圖，設(shè)CP=t(0≤t≤2)，作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，

∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，AB∩AF=A，

∴PQ⊥平面ABF，QF平面ABF.

∴PQ⊥QF.

在Rt△PQF中，∠FPQ=60°，PF=2PQ.

∵△PAQ為等腰直角三角形，

∴PQ=(2-t).

又∵△PAF為直角三角形，

∴PF=

∴(2-t).

∴t=1或t=3(舍去)，

即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn).