Question

2．如圖，在幾何體ABCDE中，ABCD為正方形，CE⊥平面ABE，且異面直線AD、CE所成的角為30°．
（Ⅰ）求證：平面ABCD⊥平面CBE；
（Ⅱ）求二面角B-AE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）只需證明CE⊥AB，AB⊥BC，得到AB⊥面CEB．即可證明平面ABCD⊥平面CBE．
（2）由（1）得AB⊥BE，如圖以E為原點(diǎn)，$\overrightarrow{EB}$所在直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∠ECB就是異面直線AD、CE所成的角，即∠ECB=30°．設(shè)BE=1，求出面EAD、面BEA的法向量即可．

解答 解：（1）如圖，∵CE⊥平面ABE，∴CE⊥AB，
∵AB⊥BC，BC∩CE=C，∴AB⊥面CEB．
∵AB?面ABCD，∴平面ABCD⊥平面CBE．
（2）由（1）得AB⊥BE，如圖以E為原點(diǎn)，$\overrightarrow{EB}$所在直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
∵AD∥BC，∴∠ECB就是異面直線AD、CE所成的角，∴∠ECB=30°．
設(shè)BE=1，∴CB=AB=2，CE=$\sqrt{3}$，B（1，0，0），A（1，2，0），D（0，2，$\sqrt{3}$）．
設(shè)面EAD的法向量為$\overrightarrow{\\;m}=（x，y，z）$，$\overrightarrow{ED}=（0，2，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{EA}=（1，2，0）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ED}=2y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EA}=x+2y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}=（2\sqrt{3}，-\sqrt{3}，2）$．
面EAB的法向量為$\overrightarrow{EC}=（0，0，\sqrt{3}）$．
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{EC}$＞=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{19}}=\frac{2\sqrt{19}}{19}$．
∴二面角B-AE-D的余弦值為$\frac{2\sqrt{19}}{19}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間面面垂直的判定，向量法求二面角，屬于中檔題．