Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，∠ABC=120°，AD=CD=$\sqrt{7}$，直線PC與平面ABCD所成角的正切為$\frac{1}{2}$．
（1）設(shè)E為直線PC上任意一點(diǎn)，求證：AE⊥BD；
（2）求二面角B-PC-A的正弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)O為線段AC的中點(diǎn)，由AB=BC知BO⊥AC，由AD=CD知DO⊥AC，從而B，O，D三點(diǎn)共線，即O為AC與DB的交點(diǎn)，可得DB⊥平面PAC即可得AE⊥BD；
（2）以$\overrightarrow{OD}$所在方向為x軸，$\overrightarrow{OA}$所在方向為y軸，過O作AP的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系由題意，AC=2$\sqrt{3}$，OB=1，OD=2，又PA⊥平面ABCD，故直線PC與平面ABCD所成角即為∠PCA，由tan∠PCA$\frac{1}{2}$求得PA，利用向量求解

解答 解：（1）設(shè)O為線段AC的中點(diǎn)，由AB=BC知BO⊥AC，由AD=CD知DO⊥AC，從而B，O，D三點(diǎn)共線，即O為AC與DB的交點(diǎn)…（2分）
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD
又AC∩PA=A，所以DB⊥平面PAC
因為E為直線PC上任意一點(diǎn)，所以AE?平面PAC，所以AE⊥BD…（5分）
（2）以$\overrightarrow{OD}$所在方向為x軸，$\overrightarrow{OA}$所在方向為y軸，過O作AP的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
由題意，AC=2$\sqrt{3}$，OB=1，OD=2
又PA⊥平面ABCD，故直線PC與平面ABCD所成角即為∠PCA，∴tan∠PCA$\frac{1}{2}$
所以PA=$\sqrt{3}$，所以B（-1，0，0），C（0，-$\sqrt{3}$，0），P（0，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）
$\overrightarrow{BC}=（1，-\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{CP}=（0，2\sqrt{3}，\sqrt{3}）$∴…（8分）
設(shè)平面BPC的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BC}=x-\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CP}=2\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，有
解得$\overrightarrow{{n}_{1}}=（\sqrt{3}，1，-2）$…（10分）
由（1），取平面PCA的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}=（1，0，0）$．
所以cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$
所以二面角B-PC-A的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{4}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了空間線線垂直的判定，向量法求空間角，屬于中檔題．