Question

11．在極坐標系中，已知曲線C₁：ρ=2cosθ，將曲線C₁上的點向左平移一個單位，然后縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍，得到曲線C，又已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+tcos\frac{π}{4}}\\{y=tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），且直線l與曲線C交于A，B兩點．
（1）求曲線C的直角坐標方程，并說明它是什么曲線；
（2）設定點P（$\sqrt{2}$，0），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，化曲線C₁的方程為（x-1）²+y²=1，再由圖象變化吧的規(guī)律可得曲線C；
（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$中，得$\frac{5}{2}{t}^{2}+2t-2=0$，運用韋達定理，參數(shù)的幾何意義，即可求|PA|+|PB|．

解答 解：（1）曲線C₁的直角坐標方程為：x²+y²-2x=0即（x-1）²+y²=1．
∴曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$
∴曲線C表示焦點坐標為（$-\sqrt{3}$，0），（$\sqrt{3}$，0），長軸長為4的橢圓
（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$中，得$\frac{5}{2}{t}^{2}+2t-2=0$．
設A、B兩點對應的參數(shù)分別為t₁，t₂  
則t₁+t₂=-$\frac{4}{5}$，t₁t₂=-$\frac{4}{5}$，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$

點評 本題考查極坐標方程和直角坐標方程的互化，考查直線的參數(shù)方程的運用，以及韋達定理和正弦函數(shù)的最值的運用，屬于中檔題．