4.已知函數(shù)f(x)=-x2+2lnx與g(x)=ax+$\frac{1}{x}$(a∈R)有相同的極值點(diǎn).
(Ⅰ)求函數(shù)g(x)的解析式;
(Ⅱ)證明:不等式f(x)+2g(x)>$\frac{2}{{e}^{x}}$-x2+2x(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù));
(Ⅲ)不等式$\frac{f({x}_{1})-g({x}_{2})}{b-1}$≤1對(duì)任意x1,x2∈[$\frac{1}{e}$,3]恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,得到函數(shù)的極值點(diǎn),求出a的值,從而求出g(x)的解析式即可;
(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為證明lnx+$\frac{1}{x}$>$\frac{1}{{e}^{x}}$.設(shè)φ(x)=$\frac{1}{{e}^{x}}$,h(x)=lnx+$\frac{1}{x}$,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可;
(Ⅲ)通過討論b>1時(shí),等價(jià)于b≥[f(x1)-g(x2)]max+1,b<1時(shí),問題等價(jià)于b≤f(x1)-g(x2)]min+1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定b的范圍即可.

解答 解:(Ⅰ)∵函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞),
f′(x)=-2x+$\frac{2}{x}$=-$\frac{2(x+1)(x-1)}{x}$,(x>0),
令f′(x)=0,得x=1或x=-1(舍),
∴在f(x)(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴函數(shù)f(x)的極(最)大值為f(1)=-1,即x=1是函數(shù)的極值點(diǎn).
∵g(x)=ax+$\frac{1}{x}$,∴g′(x)=a-$\frac{1}{{x}^{2}}$.
由上知x=1是函數(shù)的極值點(diǎn),又∵f(x)與g(x)有相同極值點(diǎn),
∴x=1是函數(shù)g(x)的極值點(diǎn),∴g′(1)=a-1=0,解得:a=1.
經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)g(x)在x=1時(shí)取到極小值,符合題意.
所以g(x)=x+$\frac{1}{x}$.                              
(Ⅱ)不等式f(x)+2g(x)>$\frac{2}{{e}^{x}}$-x2+2x可化為lnx+$\frac{1}{x}$>$\frac{1}{{e}^{x}}$,
所以要證不等式f(x)+2g(x)>$\frac{2}{{e}^{x}}$-x2+2x,即證lnx+$\frac{1}{x}$>$\frac{1}{{e}^{x}}$.
設(shè)φ(x)=$\frac{1}{{e}^{x}}$,則φ(x)是(0,+∞)上的減函數(shù),φ(x)<φ(0)=1,
設(shè)h(x)=lnx+$\frac{1}{x}$,h′(x)=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{(x+1)(x-1)}{{x}^{2}}$,
故h(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增,h(x)≥h(1)=1,
所以φ(x)<1≤h(x),所以φ(x)<h(x),即lnx+$\frac{1}{x}$>$\frac{1}{{e}^{x}}$,
所以不等式f(x)+2g(x)>$\frac{2}{{e}^{x}}$-x2+2x恒成立.           
(Ⅲ)∵f($\frac{1}{e}$)=-$\frac{1}{{e}^{2}}$-2,f(1)=-1,f(3)=-9+2ln3,
因?yàn)?9+2ln3<-$\frac{1}{{e}^{2}}$-2<-1,即f(3)<f($\frac{1}{e}$)<f(1).
∴?x1∈[$\frac{1}{e}$,3,f(x1min=f(3)=-9+2ln3,f(x1max=f(1)=-1.
由(Ⅰ)知g(x)=x+$\frac{1}{x}$,∴g′(x)=$\frac{(x+1)(x-1)}{{x}^{2}}$.
當(dāng)x∈[$\frac{1}{e}$,1]時(shí),g′(x)<0;當(dāng)x∈(1,3]時(shí),g′(x)>0.
故g(x)在[$\frac{1}{e}$,1)上為減函數(shù),在(1,3]上為增函數(shù).
∵g($\frac{1}{e}$)=e+$\frac{1}{e}$,g(1)=2,g(3)=3+$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{3}$,而2<e+$\frac{1}{e}$<$\frac{10}{3}$.
∴?x2∈[$\frac{1}{e}$,3],g(x2min=g(1)=2,g(x2max=g(3)=$\frac{10}{3}$.
1°當(dāng)b-1>0,即b>1時(shí),對(duì)于?x1,x2∈[$\frac{1}{e}$,3](e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),
不等式$\frac{f({x}_{1})-g({x}_{2})}{b-1}$≤1恒成立,
等價(jià)于b-1≥[f(x1)-g(x2)]max,等價(jià)于b≥[f(x1)-g(x2)]max+1,
∵f(x1)-g(x2)≤f(x1max-g(x2min=f(1)-g(1)=-1-2=-3,
∴b≥-3+1=-2,又∵b>1,∴b>1.
2°當(dāng)b-1<0,即b<1時(shí),對(duì)于不等式$\frac{f({x}_{1})-g({x}_{2})}{b-1}$≤1恒成立,
等價(jià)于b-1≤[f(x1)-g(x2)]min,等價(jià)于b≤[f(x1)-g(x2)]min+1,
f(x1)-g(x2)≥f(x1min-g(x2max=f(3)-g(3)=-9+2ln3-$\frac{10}{3}$=-$\frac{37}{3}$+2ln3,
∴b≤-$\frac{34}{3}$+2ln3,又∵b<1,∴b≤-$\frac{34}{3}$+2ln3,
綜上,所求實(shí)數(shù)b的取值范圍為(-∞,-$\frac{34}{3}$+2ln3]∪(1,+∞).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,考查不等式的證明,是一道綜合題.

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