分析 在一個周期[0,2π)內(nèi),討論sinx、sin(x+$\frac{π}{3}$)的正負(fù),求出函數(shù)f(x)的值域即可.
解答 解:令sinx=0和sin(x+$\frac{π}{3}$)=0,x∈[0,2π),
解得x=0,π和x=$\frac{2π}{3}$,$\frac{5π}{3}$;
∴①當(dāng)x∈[0,$\frac{2π}{3}$]時,sinx≥0,sin(x+$\frac{π}{3}$)≥0,
∴f(x)=sinx+sin(x+$\frac{π}{3}$)=2sin(x+$\frac{π}{6}$)cos$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$sin(x+$\frac{π}{6}$);
此時x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{5π}{6}$],
$\frac{1}{2}$≤sin(x+$\frac{π}{6}$)≤1,
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤f(x)≤$\sqrt{3}$;
②當(dāng)x∈(π,$\frac{5π}{3}$)時,sinx<0,sin(x+$\frac{π}{3}$)<0,
∴f(x)=-sinx-sin(x+$\frac{π}{3}$)=-$\sqrt{3}$sin(x+$\frac{π}{6}$);
此時x+$\frac{π}{6}$∈($\frac{7π}{6}$,$\frac{11π}{6}$),
-1≤sin(x+$\frac{π}{6}$)≤-$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤f(x)≤$\sqrt{3}$;
③當(dāng)x∈($\frac{2π}{3}$,π)時,sinx>0,sin(x+$\frac{π}{3}$)<0,
∴f(x)=sinx-sin(x+$\frac{π}{3}$)=2sin(-$\frac{π}{6}$)cos(x+$\frac{π}{6}$)=-cos(x+$\frac{π}{6}$);
此時x+$\frac{π}{6}$∈($\frac{5π}{6}$,$\frac{7π}{6}$),
-1≤cos(x+$\frac{π}{6}$)<-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤f(x)≤$\sqrt{3}$;
④當(dāng)x∈($\frac{5π}{3}$,2π]時,sinx≤0,sin(x+$\frac{π}{3}$)>0,
∴f(x)=-sinx+sin(x+$\frac{π}{3}$)=2sin$\frac{π}{6}$cos(x+$\frac{π}{6}$)=cos(x+$\frac{π}{6}$);
此時x+$\frac{π}{6}$∈($\frac{11π}{6}$,$\frac{13π}{6}$],
$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin(x+$\frac{π}{6}$)≤1,
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$<f(x)≤1;
綜上,函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sqrt{3}$].
故答案為:[$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sqrt{3}$].
點(diǎn)評 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,也考查了分段函數(shù)與分類討論思想的應(yīng)用問題,是綜合題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | f(x)=1,g(x)=x0 | B. | f(x)=x2,g(x)=(x+1)2 | ||
C. | f(x)=x,g(x)=elnx | D. | f(x)=|x|,g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x,}&{x≥0}\\{-x,}&{x<0}\end{array}\right.$ |
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A. | 2 | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | -2 | D. | $-\frac{1}{2}$ |
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