Question

17．設(shè)數(shù)列{a_n}是首項為0的遞增數(shù)列，函數(shù)f_n（x）=|sin$\frac{1}{n}$（x-a_n）|，x∈[a_n，a_n-1]滿足：對于任意的實數(shù)m∈[0，1），f_n（x）=m總有兩個不同的根，則{a_n}的通項公式是a_n=$\frac{n\;（n-1）\;π}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、誘導(dǎo)公式、數(shù)列的遞推關(guān)系可得a_n+1-a_n=nπ，再利用“累加求和”方法、等差數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a₁=0，當n=1時，f₁（x）=|sin（x-a₁）|=|sinx|，x∈[0，a₂]，
又∵對任意的b∈[0，1），f₁（x）=b總有兩個不同的根，∴a₂=π，
∴f₁（x）=sinx，x∈[0，π]，a₂=π，
又f₂（x）=|sin$\frac{1}{2}$（x-a₂）|=|sin$\frac{1}{2}$（x-π）|=|cos$\frac{x}{2}$|，x∈[π，a₃]，
∵對任意的b∈[0，1），f₁（x）=b總有兩個不同的根，∴a₃=3π，
又f₃（x）=|sin$\frac{1}{3}$（x-a₃）|=|sin$\frac{1}{3}$（x-3π）|=|sin$\frac{1}{3}$π|，x∈[3π，a₄]，
∵對任意的b∈[0，1），f₁（x）=b總有兩個不同的根，∴a₄=6π，
由此可得a_n+1-a_n=nπ，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=0+π+…+（n-1）π=$\frac{n（n-1）}{2}$π，a_n=$\frac{n（n-1）}{2}$π．
故答案為：$\frac{n（n-1）}{2}$π．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、誘導(dǎo)公式、數(shù)列的遞推關(guān)系、“累加求和”方法、等差數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．