Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，則在橢圓C上滿足∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有（　�。�

• A． 0個(gè)
• B． 1個(gè)
• C． 2 個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，則P坐標(biāo)為（m，n），求得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-2$\sqrt{3}$-m，-n），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（2$\sqrt{3}$-m，-n），由題意可知$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求得n²=12-m²，將P代入橢圓方程，求得m²+4n²=16，即可求得m和n的值，即可求得P點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的點(diǎn)P坐標(biāo)為P（m，n）
由a=4，b=2，c=2$\sqrt{3}$，
可得焦點(diǎn)分別為F₁（-2$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（-2$\sqrt{3}$，0）
由此可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-2$\sqrt{3}$-m，-n），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（2$\sqrt{3}$-m，-n），
由∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，即$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
得（-2$\sqrt{3}$-m）（2$\sqrt{3}$-m）+n²=0，n²=12-m²，
又∵點(diǎn)P（m，n）在橢圓C上，即$\frac{{m}^{2}}{16}+\frac{{n}^{2}}{4}=1$
化簡得：m²+4n²=16，代入求得n²=$\frac{4}{3}$，m²=$\frac{32}{3}$，
∴n=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，m=±$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
故這樣的點(diǎn)由4個(gè)，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．