Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{2}^{x}-1|，x＜2}\\{\frac{3}{x-1}，x＞2}\end{array}\right.$，若方程f（x）-a=0有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． （1，3）
• B． （0，3）
• C． （0，2）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)f（x）的解析式，作出分段函數(shù)的圖象，方程f（x）-a=0有三個不同的實數(shù)根，即為函數(shù)y=f（x）的圖象與y=a的圖象有三個不同的交點，結(jié)合函數(shù)的圖象即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{2}^{x}-1|，x＜2}\\{\frac{3}{x-1}，x＞2}\end{array}\right.$，
∴作出函數(shù)f（x）的圖象如右圖所示，
∵方程f（x）-a=0有三個不同的實數(shù)根，
則函數(shù)y=f（x）的圖象與y=a的圖象有三個不同的交點，
根據(jù)圖象可知，a的取值范圍為0＜a＜1．
故選：D．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，考查了分段函數(shù)圖象的作法．解題的關(guān)鍵在于正確作出函數(shù)圖象，能將方程f（x）-a=0有三個不同的實數(shù)根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有三個不同的交點的問題．解題中綜合運用了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．