Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_na_n+1，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由條件$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{{n}^{2}}{2}$，得n≥2時(shí)，$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n-1}}=\frac{（n-1）^{2}}{2}$，兩式相減即可求得通項(xiàng)公式；
（2）$_{n}={a}_{n}{a}_{n+1}=\frac{4}{（2n-1）（2n+1）}$，采用裂項(xiàng)相消，即可求出{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 （本小題滿分12分）
解析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}$，∴a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{{n}^{2}}{2}$，①
$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n-1}}=\frac{（n-1）^{2}}{2}$，②
①-②得，$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{（n-1）^{2}}{2}=\frac{2n-1}{2}$，
∴n≥2時(shí)，${a}_{n}=\frac{2}{2n-1}$．
又a₁=2滿足上式，
∴${a}_{n}=\frac{2}{2n-1}$．
（2）∵b_n=a_na_n+1=$\frac{2}{2n-1}•\frac{2}{2n+1}$=2（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
∴${S}_{n}=2（1-\frac{1}{3}）+2（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+2（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=2（$1-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{4n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式a_n=S_n-S_n-1求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前n項(xiàng)．需注意的是在求通項(xiàng)公式時(shí)不要漏掉對(duì)n=1的檢驗(yàn)．