Question

8．袋中有3個大小、質(zhì)量相同的小球，每個小球上分別寫有數(shù)字0，1，2，隨機摸出一個將其上的數(shù)字記為a₁，然后放回袋中，再次隨機摸出一個，將其上的數(shù)字記為a₂，依次下去，第n次隨機摸出一個，將其上的數(shù)字記為a_n記ξ_n=a₁a₂…a_n，則（1）隨機變量ξ₂的期望是1；
（2）當${ξ_n}={2^{n-1}}$時的概率是$\frac{n}{{3}^{n}}$．

Answer 1

分析 （1）P（ξ₂=1）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$，P（ξ₂=2）=2×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$，P（ξ₂=4）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$，利用互為對立事件的概率計算公式可得P（ξ₂=0）．可以求得隨機變量ξ₂的分布列及其數(shù)學期望．
②當${ξ_n}={2^{n-1}}$時，n次抽取中，其中一次為1，剩下的n-1抽取的都為2，即可得出P（${ξ_n}={2^{n-1}}$）．

解答 解：（1）P（ξ₂=1）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$，P（ξ₂=2）=2×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{9}$，
P（ξ₂=4）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$，P（ξ₂=0）=1-$\frac{1}{9}-\frac{2}{9}-\frac{1}{9}$=$\frac{5}{9}$．
可以求得隨機變量ξ₂的分布列如表所示：

ξ2	0	1	2	4
P	$\frac{5}{9}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$

∴Eξ₂=$0+1×\frac{1}{9}+2×\frac{2}{9}+4×\frac{1}{9}$=1．
（2）當${ξ_n}={2^{n-1}}$時，n次抽取中，其中一次為1，剩下的n-1抽取的都為2，
∴P（${ξ_n}={2^{n-1}}$）=$n×\frac{1}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$．
故答案為：1，$\frac{n}{3^n}$．

點評 本題考查了互相對立與互斥事件的概率計算公式及其數(shù)學期望，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．