Question

13．求滿足下列條件的橢圓的標準方程．
（1）焦點在y軸上，c=6，$e=\frac{2}{3}$；
（2）短軸的一個端點到一個焦點的距離為5，焦點到橢圓中心的距離為3．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的離心率，求出a，b即可得到橢圓方程．
（2）利用已知條件列出方程，求出a，b，即可求出橢圓方程．

解答 （本題滿分10分）
解：（1）焦點在y軸上，c=6，$e=\frac{2}{3}$；
可得$\frac{6}{a}$=$\frac{2}{3}$，所以a=9，則b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{45}$．
所求橢圓方程為：$\frac{y^2}{81}+\frac{x^2}{45}=1$．…（5分）
（2）解：由題意知，a=5，c=3，
所以b²=a²-c²=25-9=16，…（6分）
若焦點在x軸上，則橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，…（8分）
若焦點在y軸上，則橢圓的標準方程為$\frac{y^2}{25}+\frac{x^2}{16}=1$．…（10分）

點評 本題考查橢圓的簡單性質的應用，橢圓方程的求法，考查轉化思想以及計算能力．