Question

（本小題滿分14分）已知二次函數(shù)（）．

（1）當(dāng)0＜＜時(shí)，（）的最大值為，求實(shí)數(shù)的值；

（2）對于任意的 ，總有||．試求的取值范圍；

（3）若當(dāng)時(shí)，記，令，求證：成立．

Answer 1

（1）;（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由知圖像開口向上的拋物線，對稱軸x=，所以 ，故當(dāng)時(shí)取得最大值為，即，即可求出a的值;（2）由于對于任意的，總有||，令，則命題轉(zhuǎn)化為，不等式恒成立， 對t分類討論，解不等式即可求出結(jié)果；（3）由題意，，令，

則，可得

在時(shí)單調(diào)遞增，可得．又，即可求的

．

試題解析：【解析】
（1）由知圖像開口向上的拋物線，對稱軸x=

所以 ，故當(dāng)時(shí)取得最大值為，

即， 3分

（2）對于任意的，總有||，

令，

則命題轉(zhuǎn)化為，不等式恒成立， 4分

當(dāng)時(shí)，使成立；

當(dāng)時(shí)，有

對于任意的恒成立； ．．7分

，則,故要使①式成立，

則有，又，故要使②式成立，則有，由題．

綜上，為所求。 9分

（3）由題意， 10分

令

則

在時(shí)單調(diào)遞增，．

又，

，綜上，原結(jié)論成立． 14分．

考點(diǎn)：1．二次函數(shù)的性質(zhì)；2．恒成立問題；3．單調(diào)性在不等式證明中的應(yīng)用．