Question

2．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=5+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；
（2）曲線C交x軸于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)小于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，求△PAB周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （1）由直線l的極坐標(biāo)方程，得ρcosθ-ρsinθ=1，由此能求出直線l的直角坐標(biāo)方程，由曲線C的參數(shù)方程能求出C的普通方程．
（2）曲線C表示圓心（5，0），半徑r=1的圓，令y=0，得A（4，0），B（6，0），作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A₁得A₁（1，3），當(dāng)P為A₁B與l的交點(diǎn)時(shí)，△PAB的周長(zhǎng)最小，由此能求出△PAB周長(zhǎng)的最小值．

解答 解：（1）∵直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由直線l的極坐標(biāo)方程，得$ρcosθsin\frac{π}{4}-ρsinθcos\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（2分）
即ρcosθ-ρsinθ=1，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y=1，即x-y-1=0，…（3分）
∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=5+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴由曲線C的參數(shù)方程得C的普通方程為：（x-5）²+y²=1．…（5分）
（2）由（1）知曲線C表示圓心（5，0），半徑r=1的圓，
令y=0，得x=4或x=6．
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）． …（7分）
作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A₁得A₁（1，3）．…（8分）
由題設(shè)知當(dāng)P為A₁B與l的交點(diǎn)時(shí)，△PAB的周長(zhǎng)最小，
∴△PAB周長(zhǎng)的最小值為：|AP|+|PB|+|AB|=|A₁B|+|AB|=$\sqrt{34}+2$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程的求法，考查三角形周長(zhǎng)的最小值的求法，考查代數(shù)式的值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的性質(zhì)及互化公式的合理運(yùn)用．