Question

4．定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且滿足f（3）=1，f（-2）=3，當(dāng)x≠0時(shí)有x•f'（x）＞0恒成立，若非負(fù)實(shí)數(shù)a、b滿足f（2a+b）≤1，f（-a-2b）≤3，則$\frac{b+2}{a+1}$的取值范圍為$[{\frac{4}{5}，3}]$．

Answer 1

分析 根據(jù)x•f'（x）＞0恒成立得到函數(shù)的單調(diào)性，從而將f（2a+b）≤1化成f（2a+b）≤f（3），得到0≤2a+b≤3，同理化簡(jiǎn)f（-a-2b）≤3，得到-2≤-a-2b≤0．然后在aob坐標(biāo)系內(nèi)作出相應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖所示的陰影部分平面區(qū)域，利用直線的斜率公式即可求出$\frac{b+2}{a+1}$的取值范圍．

解答 解：由x•f'（x）＞0恒成立可得：
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
又∵a，b為非負(fù)實(shí)數(shù)，
∴f（2a+b）≤1可化為f（2a+b）≤1=f（3），可得0≤2a+b≤3，
同理可得-2≤-a-2b≤0，即0≤a+2b≤2，
作出以及a≥0和b≥0所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，
得到如圖的陰影部分區(qū)域，
解之得A（0，1）和B（1.5，0）
而等于可行域內(nèi)的點(diǎn)與P（-1，-2）連線的斜率，
結(jié)合圖形可知：k_PB是最小值，k_PA是最大值，
由斜率公式可得：k_PA=$\frac{1+2}{0+1}$=3，k_PB=$\frac{0+2}{1.5+1}$=$\frac{4}{5}$，
故$\frac{b+2}{a+1}$的取值范圍為[$\frac{4}{5}$，3]
故答案為：$[{\frac{4}{5}，3}]$

點(diǎn)評(píng) 本題在給出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)圖象基礎(chǔ)之上，求滿足不等式組的$\frac{b+2}{a+1}$的取值范圍．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、直線的斜率公式和二元一元不等式組表示的平面區(qū)域等知識(shí)，屬于中檔題．