Question

14．在平面直角坐標系中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+3cosa}\\{y=2sina}\end{array}\right.$（a為參數(shù)）經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{x}{3}}\\{y′=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$后的曲線為C₂，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）求C₂的極坐標方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C₃的極坐標方程為ρsin（$\frac{π}{6}$-θ）=1，且曲線C₃與曲線C₂相交于P，Q兩點，求|PQ|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出C₂的參數(shù)方程，即可求C₂的極坐標方程；
（Ⅱ）C₂是以（1，0）為圓心，2為半徑的圓，曲線C₃的極坐標方程為ρsin（$\frac{π}{6}$-θ）=1，直角坐標方程為x-$\sqrt{3}$y-2=0，求出圓心到直線的距離，即可求|PQ|的值．

解答 解：（Ⅰ）C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x′=1+cosα}\\{y′=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），普通方程為（x′-1）²+y′²=1，
∴C₂的極坐標方程為ρ=2cosθ；
（Ⅱ）C₂是以（1，0）為圓心，2為半徑的圓，曲線C₃的極坐標方程為ρsin（$\frac{π}{6}$-θ）=1，直角坐標方程為x-$\sqrt{3}$y-2=0，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|1-0-2|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴|PQ|=2$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三種方程的互化，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查弦長的計算，屬于中檔題．