Question

如圖，角A為鈍角，且sinA=

3

5

，點P、Q分別是在角A的兩邊上不同于點A的動點．
（1）設(shè)∠APQ=α．∠AQP=β．且cosα=

12

13

．求sin（2α+β）的值；
（2）若PQ=3

5

，求△APQ面積的最大值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角形中的幾何計算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由題意可得sinα，sin（α+β），cos（α+β）的值，而sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β），代值計算可得；
（2）由余弦定理可得45=AP²+AQ²+

8

5

AP•AQ，由基本不等式可得AP•AQ≤

25

2

，再由三角形的面積公式可得．

解答： 解：（1）由cosα=

12

13

可得sinα=

5

13

，
∵在△APQ中，α+β+A=π，
∴sin（α+β）=sinA=

3

5

，cos（α+β）=-cosA=

4

5

∴sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]
=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）
=

5

13

×

4

5

+

12

13

×

3

5

=

56

65

（2）在△APQ中由余弦定理得：PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQ•cosA，
代入數(shù)據(jù)可得45=AP²+AQ²+

8

5

AP•AQ≥2AP•AQ+

8

5

AP•AQ，
∴AP•AQ≤

25

2

，當且僅當AP=AQ時取到等號，
∴△APQ面積S=

1

2

AP•AQ•sinA≤

15

4

，
∴△APQ面積的最大值為

15

4

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，涉及余弦定理和基本不等式，屬中檔題．