Question

4．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+1}$+1，a∈R以下說法正確的是（　�。�
①函數(shù)f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形；
②函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值；
③函數(shù)f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為三個(gè)；
④當(dāng)a＞0時(shí)，若1＜m＜n，f（m）+f（n）＞2f（$\frac{m+n}{2}$）

• A． ①④
• B． ②④
• C． ①③
• D． ②③

Answer 1

分析 ①，函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+1}$+1，滿足f（x）+x（-x）=2可判定；
②，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）無極值點(diǎn)；
③，令f（x）=0，得x²+ax+1=0，該方程最多兩解
④，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+1}$+1=$\frac{a}{x+\frac{1}{x}}+1$，在（1，+∞）是減函數(shù)，圖象向下凸，故，若1＜m＜n

解答 解：對(duì)于①，函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+1}$+1，滿足f（x）+x（-x）=2，所以函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（0，1）中心對(duì)稱，故①正確
對(duì)于②，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）無極值點(diǎn)，故錯(cuò)；
對(duì)于③，令f（x）=0，得x²+ax+1=0，該方程最多兩解，故錯(cuò)；
對(duì)于④，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+1}$+1=$\frac{a}{x+\frac{1}{x}}+1$，在（1，+∞）是減函數(shù)，圖象向下凸，故，若1＜m＜nf（m）+f（n）＞2f（$\frac{m+n}{2}$），故正確；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)的處理．必須借助初等函數(shù)，進(jìn)行圖象變換，屬于中檔題．