Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

1

x

-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)m∈R，對任意的a∈（-1，1），總存在x₀∈[1，e]，使得不等式ma-f（x₀）＜0成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導數(shù)，令f'（x）＞0，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，令f'（x）＜0，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）求出函數(shù)最大值，得不等式組

m×1- 1 e ≤0 m×(-1)- 1 e ≤0.

，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，x＞0，
令f'（x）＞0，得x＞1，因此函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），
令f'（x）＜0，得0＜x＜1，因此函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）．
（Ⅱ）依題意，ma＜f（x）_max，由（Ⅰ）知，f（x）在x∈[1，e]上是增函數(shù)，
∴f(x)max=f(e)=lne+

1

e

-1=

1

e

，
∴ma＜

1

e

，即ma-

1

e

＜0對于任意的a∈（-1，1）恒成立，
∴

m×1- 1 e ≤0 m×(-1)- 1 e ≤0.

，解得-

1

e

≤m≤

1

e

，
∴m的取值范圍是[-

1

e

，

1

e

]．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，函數(shù)的最值問題，考查了導數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．