【題目】已知橢圓：的左右焦點為，，是橢圓上半部分的動點，連接和長軸的左右兩個端點所得兩直線交正半軸于，兩點（點在的上方或重合）.

（1）當面積最大時，求橢圓的方程；

（2）當時，若是線段的中點，求直線的方程；

（3）當時，在軸上是否存在點使得為定值，若存在，求點的坐標，若不存在，說明理由.

【答案】（1）；（2）；（3）存在,點，使得為定值.

【解析】

（1）由題意可得點A與點B重合時，面積最大，借助基本不等式即可求出b的值，可得橢圓方程；
（2）設出點，則：，：，求出點A的坐標，點B的坐標，根據(jù)B是線段的中點，用中點坐標公式列方程，可得M點坐標，進而求出直線的方程；
（3）設，，求出點A的坐標，根據(jù)向量的數(shù)量積即可求出

解：（1）由已知：

，

當且僅當時等號成立；

則：，

此時橢圓方程為：；

（2）點在軸或其左側，則圖形如本題圖，設，那么：

：，：，

令

得：，，

是線段的中點，

則：，

解得：，則，

則：：，即：；

（3）：，設，，

若點在軸左側，則同上，，

，，

，

此時，，；

綜上，故存在點使得為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某環(huán)線地鐵按內、外環(huán)線同時運行，內、外環(huán)線的長均為30千米（忽略內、外環(huán)線長度差異）．

（1）當9列列車同時在內環(huán)線上運行時，要使內環(huán)線乘客最長候車時間為10分鐘，求內環(huán)線列車的最小平均速度；

（2）新調整的方案要求內環(huán)線列車平均速度為25千米/小時，外環(huán)線列車平均速度為30千米/小時．現(xiàn)內、外環(huán)線共有18列列車全部投入運行，要使內外環(huán)線乘客的最長候車時間之差不超過1分鐘，向內、外環(huán)線應各投入幾列列車運行？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一個口袋中裝有9個大小形狀完全相同的球，球的編號分別為1，2，…，9，隨機摸出兩個球，則兩個球的編號之和大于9的概率是______（結果用分數(shù)表示）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】第31屆夏季奧林匹克運動會于2016年8月5日至8月21日在巴西里約熱內盧舉行．如表是近五屆奧運會中國代表團和俄羅斯代表團獲得的金牌數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（單位：枚）．

第30屆倫敦

第29屆北京

第28屆雅典

第27屆悉尼

第26屆亞特蘭大

中國

38

51

32

28

16

俄羅斯

24

23

27

32

26

（1）根據(jù)表格中兩組數(shù)據(jù)在答題卡上完成近五屆奧運會兩國代表團獲得的金牌數(shù)的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩國代表團獲得的金牌數(shù)的平均值及分散程度（不要求計算出具體數(shù)值，給出結論即可）；

（2）如表是近五屆奧運會中國代表團獲得的金牌數(shù)之和（從第26屆算起，不包括之前已獲得的金牌數(shù)）隨時間變化的數(shù)據(jù)：

時間（屆）

26

27

28

29

30

金牌數(shù)之和（枚）

16

44

76

127

165

作出散點圖如圖：

由圖可以看出，金牌數(shù)之和與時間之間存在線性相關關系，請求出關于的線性回歸方程，并預測從第26屆到第32屆奧運會時中國代表團獲得的金牌數(shù)之和為多少？

附：對于一組數(shù)據(jù)， ，…， ，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】由A,B,C,…等7人擔任班級的7個班委.

(1)若正、副班長兩職只能由A,B,C這三人中選兩人擔任,則有多少種分工方案?

(2)若正、副班長兩職至少要選A,B,C這三人中的1人擔任,有多少種分工方案?

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖在△AOB中，∠AOB=90°，AO=2，OB=1，△AOC可以通過△AOB以直線AO為軸旋轉得到，且OB⊥OC，點D為斜邊AB的中點.

（1）求異面直線OB與CD所成角的余弦值；

（2）求直線OB與平面COD所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某熱力公司每年燃料費約24萬元，為了“環(huán)評”達標，需要安裝一塊面積為（）（單位：平方米）可用15年的太陽能板，其工本費為（單位：萬元），并與燃料供熱互補工作，從此，公司每年的燃料費為（為常數(shù)）萬元，記為該公司安裝太陽能板的費用與15年的燃料費之和.

（1）求的值，并建立關于的函數(shù)關系式；

（2）求的最小值，并求出此時所安裝太陽能板的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某中學高三年級有400名學生參加月考，用簡單隨機抽樣的方法抽取了一個容量為50的樣本，得到數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求第四個小矩形的高；

（2）估計本校在這次統(tǒng)測中數(shù)學成績不低于120分的人數(shù)；

（3）已知樣本中，成績在內的有兩名女生，現(xiàn)從成績在這個分數(shù)段的學生中隨機選取2人做學習交流，求恰好男生女生各有一名的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知為常數(shù)，函數(shù)

（1）過坐標原點作曲線的切線，設切點為，求；

（2）令，若函數(shù)在區(qū)間上是單調減函數(shù)，求的取值范圍.

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