Question

10．已知a∈R，若$f（x）=（\frac{1}{x}+a）{e^x}$在區(qū)間（0，1）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是（　�。�

• A． a＜0
• B． a＞0
• C． a≤1
• D． a≥0

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為f′（x）=0在（0，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)定理判斷即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$（ax²+x-1），
若f（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，
則f′（x）=0在（0，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
顯然$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$＞0，
問題轉(zhuǎn)化為g（x）=ax²+x-1在（0，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
故g（0）•g（1）＜0，即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜0}\\{a+1-1＞0}\end{array}\right.$，
解得：a＞0，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．