Question

2．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且$\frac{{a}_{n}+1}{6}$=$\frac{{S}_{n}+n}{{S}_{n+1}-{S}_{n}+1}$，a₁=m，現(xiàn)有如下說法：
①a₂=5；
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=3n+m-3；
③a₂+a₄+…+a_2n=3n²+2n．
則上述說法正確的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 0個(gè)
• B． 1個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 3個(gè)

Answer 1

分析 $\frac{{a}_{n}+1}{6}$=$\frac{{S}_{n}+n}{{S}_{n+1}-{S}_{n}+1}$，a₁=m，可得（a_n+1+1）（a_n+1）=6（S_n+n），n=1時(shí)，（a₂+1）×（m+1）=6（m+1），可得a₂=5．n≥2時(shí)，（a_n+1）（a_n-1+1）=6（S_n-1+n-1），可得（a_n+1）（a_n+1-a_n-1）=6a_n+6，a_n＞0，a_n+1-a_n-1=6．再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可判斷出②③的正誤．

解答 解：$\frac{{a}_{n}+1}{6}$=$\frac{{S}_{n}+n}{{S}_{n+1}-{S}_{n}+1}$，a₁=m，
∴（a_n+1+1）（a_n+1）=6（S_n+n），
①n=1時(shí)，（a₂+1）×（m+1）=6（m+1），∵m+1＞0時(shí)，∴a₂=5．
②n≥2時(shí)，（a_n+1）（a_n-1+1）=6（S_n-1+n-1），
∴（a_n+1）（a_n+1-a_n-1）=6a_n+6，a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-1=6．
∴當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列{a_2k-1}為等差數(shù)列，∴a_n=a_2k-1=m+（k-1）×6=3n+m-3．
③當(dāng)n=2k（k∈N^*）為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列{a_2k}為等差數(shù)列，∴a_n=a_2k=5+（k-1）×6=3n-1．
∴a₂+a₄+…+a_2n=6×（1+2+…+n）-n=$6×\frac{n（1+n）}{2}$-n=3n²+2n．
因此①②③都正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．