Question

6．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-b{x^2}+2x+1，\;\;（{x∈R}）$．
（1）若$b=\frac{3}{2}$，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x=-1是函數(shù)y=f（x）的一個極值點(diǎn)，試判斷此時函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）根據(jù)x=-1是函數(shù)y=f（x）的一個極值點(diǎn)，求出b的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)即可．

解答 解：f'（x）=x²-2bx+2．
（1）$b=\frac{3}{2}$時，f'（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2），
令f'（x）＞0解得x＜1或x＞2．
所以，$b=\frac{3}{2}$時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞）．
令f'（x）＜0解得1＜x＜2．
所以，$b=\frac{3}{2}$時函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，2）．
（2）因?yàn)閤=-1是函數(shù)y=f（x）的一個極值點(diǎn)，
則f'（-1）=0，故：1+2b+2=0解得：$b=-\frac{3}{2}$，
此時f'（x）=x²-2bx+2=x²+3x+2，
令f'（x）=0解得：x=-2或x=-1．
則x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下．

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-1）	-1	（-1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

故此時x=-1時，f（x）有極小值$f（{-1}）=\frac{1}{6}＞0$；
x=-2時，f（x）有極大值$f（{-2}）=\frac{1}{3}＞0$；
則當(dāng)x＞-2時，f（x）≥f（-1）＞0，顯然函數(shù)在（-2，+∞）上無零點(diǎn)．
又$f（{-3}）=-\frac{1}{2}＜$，（也可取x=-4等），則f（-3）f（-2）＜0，
結(jié)合函數(shù)在（-∞，-2）上單調(diào)遞增，故由零點(diǎn)存在定理知，函數(shù)在（-∞，-2）上必有唯一零點(diǎn)．
綜上：若x=-1是函數(shù)y=f（x）的一個極值點(diǎn)，則此時函數(shù)y=f（x）在R上有唯一零點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．