9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}+b}{{2}^{x}+a}$（a、b為常數(shù)），且f（1）=$\frac{1}{3}$，f（0）=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在定義域上的奇偶性，并證明．

分析 （Ⅰ）由已知中f（1）=$\frac{1}{3}$，f（0）=0．構(gòu)造方程組，可得a，b值，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．利用奇偶性可證得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得f（1）=$\frac{2+b}{2+a}$=$\frac{1}{3}$，f（0）=$\frac{1+b}{1+a}$=0，…．（3分）
解得a=1，b=-1，
所以f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$；…（5分）
（Ⅱ） 函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
證明如下：f（x）的定義域為R，…．（6分）
∵f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{{1-2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-f（x），…．（9分）
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；…（10分）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的奇偶性，難度中檔．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，如圖E、F分別是BB1，CD的中點，
（1）求證：D1F⊥AE；
（2）求直線EF與CB1所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA=AB=2，$PB=2\sqrt{2}$，$PC=2\sqrt{3}$，E，F(xiàn)分別為BC，PD的中點．
（1）求證：EF⊥AD；
（2）求直線EF與平面PBC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

17．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右頂點分別為A、B，上頂點為C，若△ABC是底角為30°的等腰三角形，則$\frac{c}$=$\sqrt{2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．在△ABC中，已知$sin（A+\frac{π}{6}）=2cosA$．
（1）求tanA；
（2）若$B∈（0，\frac{π}{3}）$，且$sin（A-B）=\frac{3}{5}$，求sinB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

14．要得到函數(shù)y=sinx的圖象，只需將函數(shù)$y=sin（x-\frac{π}{3}）$的圖象（　�。�
A．向右平移$\frac{π}{6}$個單位B．向右平移$\frac{π}{3}$個單位
C．向左平移$\frac{π}{3}$個單位D．向左平移$\frac{π}{6}$個單位

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．已知$f（α）=\frac{{sin（{π-α}）cos（{2π-α}）sin（{-α+\frac{3π}{2}}）}}{{sin（{\frac{π}{2}+α}）sin（{-π-α}）}}$．
（1）化簡f（α）；
（2）若α是第三象限角，且$cos（{α+\frac{π}{3}}）=\frac{3}{5}$，求f（α）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

18．設(shè)曲線y=x4+ax+3在x=1處的切線方程是y=x+b，則a=-3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

17．在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M，N（不與A，C重合）為AC邊上的兩個動點，且滿足|$\overrightarrow{MN}$|=$\sqrt{2}$，則$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$的取值范圍為（　�。�
A．[$\frac{3}{2}$，2]B．（$\frac{3}{2}$，2）C．[$\frac{3}{2}$，2）D．[$\frac{3}{2}$，+∞）

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