9．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，PF⊥x軸，若$|{PF}|=\frac{1}{4}|{AF}|$，則橢圓的離心率為（　�。�
A．$\frac{3}{4}$B．$\frac{1}{2}$C．$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$D．$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

分析 由題意畫(huà)出圖形，求出橢圓半通徑長(zhǎng)，代入$|{PF}|=\frac{1}{4}|{AF}|$，化為關(guān)于e的方程求解．

解答 解：如圖，

∵PF⊥x軸，∴|PF|=$\frac{^{2}}{a}$，而|AF|=a+c，
∴由$|{PF}|=\frac{1}{4}|{AF}|$，得$\frac{^{2}}{a}=\frac{1}{4}（a+c）$，
即4（a2-c2）=a2+ac，∴4e2+e-3=0，解得e=-1（舍）或e=$\frac{3}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，熟記橢圓通徑是解題的關(guān)鍵，是中檔題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

19．已知函數(shù)f（x）=loga（ax+1）+bx（a＞0且a≠1，b∈R）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且滿(mǎn)足f（0）=1．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x+c在[0，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)φ（x）=2f（2x）+x+λ×2x-1（x∈-1，2]），是否存在實(shí)數(shù)λ使得φ（x）的最小值為-1，若存在，求出λ的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

20．如圖，拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)為F，拋物線上一定點(diǎn)Q（1，2）．
（1）求拋物線C的方程及準(zhǔn)線l的方程；
（2）過(guò)焦點(diǎn)F的直線（不經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)）與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)M，記QA，QB，QM的斜率分別為k1，k2，k3，問(wèn)是否存在常數(shù)λ，使得k1+k2=λk3成立？若存在λ，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

17．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）和直線l：$\frac{x}{a}$-$\frac{y}$=1，橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線m過(guò)點(diǎn)P（0，2）且與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)，試判斷是否存在直線m，使以CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E？若存在，求出直線m的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

4．若命題p：α是第一象限角；命題q：α是銳角，則p是q的（　�。�
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

14．下列三個(gè)命題：
①“a2+b2=0，則a，b全為0”的逆否命題是“若a，b全不為0”，則a2+b2≠0”；
②“$m=\frac{1}{2}$”是“直線（m+2）x+3my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充分不必要條件；
③已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），則該雙曲線的離心率的值為$\sqrt{5}$．
上述命題中真命題的序號(hào)為②③．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

1．設(shè)x＞0，y＞0且x+4y=40，則lgx+lgy的最大值是（　�。�
A．40B．10C．4D．2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

18．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），點(diǎn)$A（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在橢圓C上．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在斜率為2的直線l，使得當(dāng)直線l與橢圓C有兩個(gè)不同交點(diǎn)M，N時(shí)，能在直線$y=\frac{5}{3}$上找到一點(diǎn)P，在橢圓C上找到一點(diǎn)Q，滿(mǎn)足$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{NQ}$？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

19．已知點(diǎn)P（2，1）與Q關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，直線PM，QM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是-$\frac{1}{4}$
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過(guò)P作直線l交軌跡C于另一點(diǎn)A，求DPAO的面積的取值范圍．

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