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2.在△ABC中,∠ABC=π3,邊BC在平面α內(nèi),頂點(diǎn)A在平面α外,直線AB與平面α所成角為θ.若平面ABC與平面α所成的二面角為π3,則sinθ=31313

分析 過A作AO⊥α,垂足是O,過O作OD⊥BC,交BC于D,連結(jié)AD,則AD⊥BC,∠ADO=π3,∠ABO=θ,由此能求出sinθ.

解答 解:過A作AO⊥α,垂足是O,過O作OD⊥BC,交BC于D,連結(jié)AD,
則AD⊥BC,∴∠ADO平面ABC與平面α所成的二面角為,即∠ADO=π3,
∠ABO是直線AB與平面α所成角,即∠ABO=θ,
設(shè)AO=3,∵△ABC中,∠ABC=π3,
∴DO=1,OB=1sin60°=233,AB=32+2332=393,
∴sinθ=AOAB=3393=31313
故答案為:31313

點(diǎn)評 本題考查線面角的正弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.

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