Question

13．已知點A在橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$上，點P滿足$\overrightarrow{AP}=（{λ-1}）\overrightarrow{OA}（{λ∈R}）$，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}=72$，則線段OP在x軸上的投影長度的最大值為15．

Answer 1

分析 根據(jù)向量共線定理可得|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OP}$|=72，設A（x，y）、PB為點A在x軸的投影，求出OP在x軸上的投影長度為|$\overrightarrow{OP}$|cosθ，再利用基本不等式求最值，可得結(jié)論．

解答 解：$\overrightarrow{AP}=（{λ-1}）\overrightarrow{OA}（{λ∈R}）$，∴$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$，則O，P，A三點共線，
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}=72$，∴|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OP}$|=72，
設OP與x軸夾角為θ，設A（x，y），B為點A在x軸的投影，
則OP在x軸上的投影長度為|$\overrightarrow{OP}$|cosθ=$\frac{72丨\overrightarrow{OB}丨}{丨\overrightarrow{OA}{丨}^{2}}$=72×$\frac{丨x丨}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=72×$\frac{1}{\frac{16}{25}丨x丨+\frac{9}{丨x丨}}$≤72×$\frac{1}{2\sqrt{\frac{16}{25}丨x丨×\frac{9}{丨x丨}}}$=15．
當且僅當$\frac{16}{25}$丨x丨=$\frac{9}{丨x丨}$，即|x|=$\frac{15}{4}$時等號成立．
則線段OP在x軸上的投影長度的最大值為15．
故答案為：15．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查向量的共線定理，向量的坐標運算公式、基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．