Question

4．直線l：ax+$\frac{1}{a}$y-1=0 與x，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，直線與圓O：x²+y²=1 的交點(diǎn)為C，D，給出下面三個(gè)結(jié)論：
①?a≥1，S_△AOB=$\frac{1}{2}$；
②?a≥1，|AB|≥|CD|； 
③?a≥1，S_△COD＜$\frac{1}{2}$．
其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 0個(gè)
• B． 1個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 3個(gè)

Answer 1

分析 求得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A，B，原點(diǎn)到直線的距離，求得△AOB的面積，即可判斷①；
運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和弦長(zhǎng)公式，平方作差比較，結(jié)合基本不等式即可判斷②；
求得三角形COD的面積，平方作差，配方即可判斷③．

解答 解：直線l：ax+$\frac{1}{a}$y-1=0 與x，y軸的交點(diǎn)分別為A（$\frac{1}{a}$，0），B（0，a），
O到直線l的距離d=$\frac{|-a|}{\sqrt{{a}^{4}+1}}$，
①?a≥1，S_△AOB=$\frac{1}{2}$•|a|•$\frac{1}{|a|}$=$\frac{1}{2}$，故①正確；
②?a≥1，|AB|²=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$，|CD|²=4（1-$\frac{{a}^{2}}{{a}^{4}+1}$），
|AB|²-|CD|²=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$-4，
由a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$≥2，（a=1取得等號(hào)），可得上式≥2$\sqrt{4}$-4=0，（a=1取得等號(hào)）
則|AB|≥|CD|； 
③S_△COD=$\frac{1}{2}$|CD|d=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{1+{a}^{4}}}$•$\frac{|-a|}{\sqrt{{a}^{4}+1}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{1+{a}^{4}}（1-\frac{{a}^{2}}{1+{a}^{4}}）}$，
由S_△COD²-$\frac{1}{4}$=$\frac{{a}^{2}}{{a}^{4}+1}$-（$\frac{{a}^{2}}{{a}^{4}+1}$）²-$\frac{1}{4}$=-（$\frac{{a}^{2}}{{a}^{4}+1}$-$\frac{1}{2}$）²≤0（a=±1時(shí)取得等號(hào)），
則?a≥1，S_△COD＜$\frac{1}{2}$成立．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷，主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)的距離和三角形的面積公式、基本不等式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．