Question

19．關(guān)于函數(shù)f（x）=6sin（2x+$\frac{π}{3}$）（x∈R），有下列命題：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數(shù)倍；
②y=f（x）的表達式可改寫為f（x）=6cos（2x-$\frac{π}{6}$）；
③y=f（x）的圖象關(guān)于點（-$\frac{π}{6}$，0）對稱；
④y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對稱．
以上命題成立的序號是②③④．

Answer 1

分析 利用正弦函數(shù)的圖象的周期性、對稱性，誘導(dǎo)公式，得出結(jié)論．

解答 解：關(guān)于函數(shù)f（x）=6sin（2x+$\frac{π}{3}$）（x∈R），
由f（x₁）=f（x₂）=0可得 2x₁+$\frac{π}{3}$=kπ，2x₂+$\frac{π}{3}$=nπ，k、n∈Z，
不妨令 x₁=$\frac{π}{3}$，x₂，=$\frac{5π}{6}$，顯然，x₁-x₂不是π的整數(shù)倍，故①錯誤．
∵y=f（x）=6sin（2x+$\frac{π}{3}$）=6cos[$\frac{π}{2}$-（2x+$\frac{π}{3}$）]=6cos（2x-$\frac{π}{6}$），故②正確．
令x=-$\frac{π}{6}$，求得f（x）=0，故f（x）的圖象關(guān)于點（-$\frac{π}{6}$，0）對稱，故③正確．
令x=$\frac{π}{12}$，可得f（x）=1，故f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對稱，故④正確，
故答案為：②③④．

點評 本議題主要考查正弦函數(shù)的圖象的周期性、對稱性，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．