Question

4．在單調(diào)遞增的等差數(shù)列{a_n}中，a₃，a₇，a₁₅成等比數(shù)列，前5項之和等于20．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，記數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求使${T_n}≤\frac{24}{25}$成立的n的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)單調(diào)遞增的等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，得到首項和公差的方程，解方程即可得到所求；
（2）求得${b_n}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{2}{（n+1）（n+2）}$=2（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），運用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，可得前n項和為T_n，再解不等式，可得n的最大值．

解答 解：（1）設(shè)單調(diào)遞增的等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），
a₃，a₇，a₁₅成等比數(shù)列，可得a₇²=a₃a₁₅，
即（a₁+6d）²=（a₁+2d）（a₁+14d），
化為a₁=2d，
又前5項之和等于20，
即有5a₁+$\frac{5×4}{2}$d=20，即為a₁+2d=4，
解得a₁=2，d=1，
數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=a₁+（n-1）d=2+n-1=n+1；
（2）${b_n}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{2}{（n+1）（n+2）}$=2（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）=1-$\frac{2}{n+2}$，
由T_n=1-$\frac{2}{n+2}$，使${T_n}≤\frac{24}{25}$成立，即1-$\frac{2}{n+2}$≤$\frac{24}{25}$，
可得n≤48．
使${T_n}≤\frac{24}{25}$成立的n的最大值為48．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式和等比數(shù)列中項的性質(zhì)，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．