Question

2．已知函數f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（k∈R）．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-ln（{x+1}）+f（{x+2}）$滿足：對任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤1恒成立，試確定實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導函數$f'（x）=\frac{1}{x-1}-k$，通過當k≤0時，當k＞0時，判斷導函數的符號，推出函數的單調區(qū)間即可．
（2）$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-kx-k+1x∈[{0，1}]$，通過對任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤1恒成立，轉化為：當x∈[0，1]，有g_max（x）-g_min（x）≤1成立，求出g'（x）=x²-k，通過當k≤0時，當k＞0時，求解函數的最值，通過g_max（x）-g_min（x）=$g（1）-g（\sqrt{k}）=\frac{1}{3}-k+\frac{2}{3}{k^{\frac{3}{2}}}$，令$h（k）=\frac{1}{3}-k+\frac{2}{3}{k^{\frac{3}{2}}}$，$k∈（{0，\frac{1}{3}}）$，
則$h'（k）={k^{\frac{1}{2}}}-1＜0$，利用h（k）在$（{0，\frac{1}{3}}）$為減函數，求解即可．

解答 解：（1）∵ln（x-1）-k（x-1）+1（x＞1），∴$f'（x）=\frac{1}{x-1}-k$，
當k≤0時，f′（x）＞0恒成立，故函數在（1，+∞）為增函數，
當k＞0時，令f'（x）=0，得$x=\frac{k+1}{k}＞1$
當f'（x）＜0，即$1＜x＜\frac{k+1}{k}$時，函數為減函數，
當f'（x）＞0，即$x＞\frac{k+1}{k}$時，函數為增函數，
綜上所述，當k≤0時，函數f（x）在（1，+∞）為增函數，
當k＞0時，函數f（x）在$（1，\frac{k+1}{k}）$為減函數，在$（\frac{k+1}{k}，+∞）$為增函數．
（2）$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-kx-k+1x∈[{0，1}]$，
因為對任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤1恒成立
所以當x∈[0，1]，有g_max（x）-g_min（x）≤1成立g'（x）=x²-k
當k≤0時，g'（x）=x²-k≥0恒成立，g（x）在[0，1]為增函數
由g_max（x）-g_min（x）=$g（1）-g（0）=\frac{1}{3}-k≤1$得$k≥-\frac{2}{3}$，所以$-\frac{2}{3}≤k≤0$
當k＞0時，由g'（x）=x²-k=0得$x=\sqrt{k}$
易知g（x）在$[{0，\sqrt{k}}]$為減函數，在$[{\sqrt{k}，+∞}）$為增函數
若k≥1，則g（x）在[0，1]為減函數，由g_max（x）-g_min（x）=$g（0）-g（1）=k-\frac{1}{3}≤1$
得$k≤\frac{4}{3}$，所以$1≤k≤\frac{4}{3}$
若$\frac{1}{3}≤k＜1$，則g（x）在$[{0，\sqrt{k}}]$為減函數，在$[{\sqrt{k}，1}]$為增函數，$g（1）-g（0）=\frac{1}{3}-k≤0$
所以g_max（x）-g_min（x）=$g（0）-g（\sqrt{k}）=-\frac{2}{3}{k^{\frac{3}{2}}}$，
而$\frac{1}{3}≤k＜1$時$-\frac{2}{3}{k^{\frac{3}{2}}}≤1$恒成立，所以$\frac{1}{3}≤k＜1$適合題意
若$0＜k＜\frac{1}{3}$，則g（x）在$[{0，\sqrt{k}}]$為減函數，在$[{\sqrt{k}，1}]$為增函數，$g（1）-g（0）=\frac{1}{3}-k＞0$
所以g_max（x）-g_min（x）=$g（1）-g（\sqrt{k}）=\frac{1}{3}-k+\frac{2}{3}{k^{\frac{3}{2}}}$，
令$h（k）=\frac{1}{3}-k+\frac{2}{3}{k^{\frac{3}{2}}}$，$k∈（{0，\frac{1}{3}}）$，
則$h'（k）={k^{\frac{1}{2}}}-1＜0$，所以h（k）在$（{0，\frac{1}{3}}）$為減函數，所以$h（k）＜h（0）=\frac{1}{3}＜1$，所以$0＜k＜\frac{1}{3}$適合題意
綜上所述：$-\frac{2}{3}≤k≤\frac{4}{3}$．

點評 本題考查函數的導數的應用冪函數的極值以及函數的單調性的應用，考查計算能力與轉化思想的應用．