Question

13．已知圓C：x²+y²-2x-1=0，直線l：3x-4y+12=0，圓C上任意一點P到直線l的距離小于2的概率為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)幾何概型，求出圓心到直線的距離，利用幾何概型的概率公式分別求出對應的測度即可得到結(jié)論．

解答 解：由題意知圓的標準方程為（x-1）²+y²=2的圓心是（1，0），
圓心到直線3x-4y+12=0的距離是d=$\frac{|3+12|}{\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}}$=$\frac{15}{5}$=3，
當與3x-4y+12=0平行，且在直線下方距離為2的平行直線為3x-4y+b=0，
則d=$\frac{|12-b|}{\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}}$=$\frac{|b-12|}{5}$=2，則|b-12|=10，
即b=22（舍）或b=2，此時直線為3x-4y+2=0，
則此時圓心到直線3x-4y+2=0的距離d=1，即三角形ACB為直角三角形，
當P位于弧ADB時，此時P到直線l的距離小于2，
則根據(jù)幾何概型的概率公式得到P=$\frac{{90}^{°}}{{360}^{°}}$=$\frac{1}{4}$，
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查幾何概型的概率計算，利用條件確定圓C上的點A到直線l的距離小于2對應區(qū)域是解決本題的關(guān)鍵．