Question

11．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為為$\frac{1}{2}$，F(xiàn)為橢圓C的右焦點A（-a，0），|AF|=3．
（I） 求橢圓C的方程；
（II） 設(shè)O為原點，P為橢圓上一點，AP的中點為M．直線OM與直線x=4交于點D，過O作OE丄DF，交直線x=4于點E．求證：OE∥AP．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓C的半焦距為c，依題意列式求得a，c的值，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0），設(shè)AP的中點M（x₀，y₀），P（x₁，y₁），設(shè)出直線AP方程為：y=k（x+2）（k≠0），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得M的坐標(biāo)，進一步求出直線OM的斜率，得到直線OM的方程，再求得D的坐標(biāo)，得到直線DF的斜率，由OE丄DF可得OE的斜率，則答案得證．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)橢圓C的半焦距為c，依題意，得：
$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a+c=3，解得a=2，c=1．
∴b²=a²-c²=3，
則橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得，A（-2，0），設(shè)AP的中點M（x₀，y₀），P（x₁，y₁），
設(shè)直線AP方程為：y=k（x+2）（k≠0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．
∴$-2+{x}_{1}=\frac{-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{0}=\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，${y}_{0}=k（{x}_{0}+2）=\frac{6k}{3+4{k}^{2}}$．
即M（$\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，\frac{6k}{3+4{k}^{2}}$），
∴直線OM的斜率是$\frac{\frac{6k}{3+4{k}^{2}}}{\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}=-\frac{3}{4k}$，
∴直線OM的方程是y=-$\frac{3}{4k}x$，令x=4，得D（4，-$\frac{3}{k}$）．
由F（1，0），得直線DF的斜率是$\frac{-\frac{3}{k}}{4-1}=-\frac{1}{k}$，
∵OE丄DF，∴直線OE的斜率為k，
∴OE∥AP．

點評 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力，屬中檔題．