Question

拋物線C₁：x²=my（m＞0）的準(zhǔn)線與y軸交于F₁，焦點(diǎn)為F₂，若橢圓C₂以F₁、F₂為焦點(diǎn)，且離心率為e=

1

2

．
（1）當(dāng)m=4時(shí)，求橢圓C₂的方程；
（2）若拋物線C₁與直線l：y=2x-m及y軸所圍成的圖形的面積為

10

3

，求拋物線C₁和直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）m=4時(shí)，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)以及a，b 的值，寫出橢圓方程．
（2）利用定積分球面積，可得m的值，即可求拋物線C₁和直線l的方程．

解答： 解：（1）當(dāng)m=4時(shí)，F(xiàn)₂（0，1），F(xiàn)₁（0，-1），∴c=1，
∵e=

1

2

，∴

c

a

=

1

2

，
∵c²=a²-b²，∴a=2，b=

3

，
故橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

3

+

y2

4

=1；
（2）拋物線C₁與直線l：y=2x-m，消去y可得x²-2m+m²=0，∴x=m；
∴S=

∫

m 0

[

1

m

x²-（2x-m）]dx=（

1

3m

x³-x²+mx）=

10

3

，
∴m²=10，
∵m＞0，∴m=

10

，
∴拋物線C₁的方程：x²=

10

y，直線l的方程為y=2x-

10

．

點(diǎn)評：本題考查拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)，考查定積分知識，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．